2直線 $y=3x$ と $y=\frac{1}{2}x$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ とします。

1. 問題の内容

2直線 $y=3x$ と $y=\frac{1}{2}x$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ とします。

2. 解き方の手順

2直線のなす角 $\theta$ を求めるために、それぞれの直線の傾きを利用します。

直線 $y=3x$ の傾きは $3$ であり、直線 $y=\frac{1}{2}x$ の傾きは $\frac{1}{2}$ です。

それぞれの傾きを $\tan$ で表すと、

$\tan \alpha = 3$

$\tan \beta = \frac{1}{2}$

となります。ここで$\alpha$と$\beta$はそれぞれの直線とx軸の正の向きとのなす角です。

求める角$\theta$は$|\alpha-\beta|$です。したがって、

$\tan \theta = \tan |\alpha - \beta| = |\tan (\alpha - \beta)|$

$\tan$の差の公式を使うと、

$\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan \alpha = 3$と$\tan \beta = \frac{1}{2}$を代入して、

$\tan (\alpha - \beta) = \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1$

したがって、

$\tan \theta = |1| = 1$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$なので、$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$