1, 2, 3, 4 の数字が書かれたカードがそれぞれ1枚, 3枚, 3枚, 3枚ある。合計10枚のカードから、1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数をXとする。確率変数Xの確率分布を求める。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4 の数字が書かれたカードがそれぞれ1枚, 3枚, 3枚, 3枚ある。合計10枚のカードから、1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数をXとする。確率変数Xの確率分布を求める。

2. 解き方の手順

Xは偶数のカードを引く回数なので、取りうる値は0, 1, 2である。

まず、カードの合計枚数を確認する。

1のカード：1枚

2のカード：3枚

3のカード：3枚

4のカード：3枚

合計：10枚

X=0となるのは、2枚とも奇数のカードを引く場合である。

奇数のカードは1と3なので、合計4枚である。

$P(X=0) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$

X=1となるのは、1枚だけ偶数のカードを引く場合である。

(奇数、偶数)または(偶数、奇数)の順に引く場合が考えられる。

$P(X=1) = \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} + \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$

X=2となるのは、2枚とも偶数のカードを引く場合である。

偶数のカードは2と4なので、合計6枚である。

$P(X=2) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

念のため、確率の合計を確認する。

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{2}{15} + \frac{8}{15} + \frac{5}{15} = \frac{15}{15} = 1$

確率の合計は1になるので正しい。

3. 最終的な答え

X | 0 | 1 | 2

---|---|---|---

P | 2/15 | 8/15 | 5/15