円Oの外の点Pから円Oに接線PTを引き、点A, Bを通る直線が円と交わっている。PA = 3 cm, AB = 24 cm, PT = $x$ cmとするとき、$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

円Oの外の点Pから円Oに接線PTを引き、点A, Bを通る直線が円と交わっている。PA = 3 cm, AB = 24 cm, PT = $x$ cmとするとき、$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

円の接線に関する以下の定理を利用します。

「円外の一点から引いた接線の長さの2乗は、その点から円に引いた割線の、その点から円との交点までの距離の積に等しい。」

この定理より、以下の式が成り立ちます。

$PT^2 = PA \cdot PB$

ここで、$PA = 3$ cm, $AB = 24$ cmなので、$PB = PA + AB = 3 + 24 = 27$ cm。

よって、

$x^2 = 3 \cdot 27$

$x^2 = 81$

$x>0$なので、

$x = \sqrt{81}$

$x = 9$

3. 最終的な答え

9 cm