三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理、メネラウスの定理、および面積比の知識を使って解くことができます。

まず、チェバの定理を三角形ABCと点Oに適用すると、

$$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$$

問題文より、$AM:MB = 1:2$、$BN:NC = 3:2$なので、

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$$

$$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$$

したがって、$AP:PC = 3:4$となる。

次に、メネラウスの定理を三角形ACNと直線BOに適用すると、

$$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BN} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$$

$AP:PC = 3:4$、$CB:BN = 5:3$なので、

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$$

$$\frac{NO}{OA} = \frac{4}{5}$$

したがって、$AO:ON = 5:4$となる。

三角形AOPの面積が1なので、三角形AONの面積は、$\frac{AO}{AN} \times$ (三角形AONの面積) = $\frac{5}{9} \times$(三角形ACNの面積)

三角形AONの面積を考えると、

$S_{\triangle AON} = \frac{4}{5} S_{\triangle AOP} = \frac{4}{5} \times 1= \frac{4}{5}$

また、三角形ACNの面積は三角形ABCの面積の$\frac{2}{5}$となる。

$S_{\triangle ACN} = \frac{2}{5} S_{\triangle ABC}$

三角形AONの面積を、三角形ACNの面積で表すと、$\frac{5}{9} S_{\triangle ACN}$となるので、

$\frac{5}{9} S_{\triangle ACN} = \frac{4}{9}$

$S_{\triangle ACN} = \frac{36}{25}$

したがって、$S_{\triangle ABC} = \frac{5}{2} S_{\triangle ACN} = \frac{5}{2} \times \frac{9}{5} = \frac{45}{10}= \frac{45}{2}$.

3. 最終的な答え

$\frac{45}{2}$