三角形OABにおいて、OA = 3, OB = 2, OB⊥ABとする。∠AOBの二等分線と辺ABの交点をCとし、直線OC上にOC⊥ADを満たす点Dをとる。 (1) 内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求めよ。 (2) $\vec{OC}, \vec{OD}$を、$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表せ。 (3) 四角形OADBの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA = 3, OB = 2, OB⊥ABとする。∠AOBの二等分線と辺ABの交点をCとし、直線OC上にOC⊥ADを満たす点Dをとる。

(1) 内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求めよ。

(2) $\vec{OC}, \vec{OD}$を、$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表せ。

(3) 四角形OADBの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求める。

$\vec{OB} \perp \vec{AB}$より$\vec{OB} \cdot \vec{AB}=0$

$\vec{OB} \cdot (\vec{OB}-\vec{OA})=0$

$|\vec{OB}|^2 - \vec{OA} \cdot \vec{OB}=0$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB}=|\vec{OB}|^2 = 2^2 = 4$

(2) $\vec{OC}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。

Cは∠AOBの二等分線上にあるので、$OC:CA = OB:BA = 2:3$

Cは線分ABをOB:OA = 2:3に内分するので、

$\vec{OC} = \frac{3\vec{OB} + 2\vec{OA}}{2+3} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

$\vec{OD}$を$\vec{OA}, \vec{OB}$を用いて表す。

OC⊥ADより$\vec{OC} \cdot \vec{AD} = 0$

$\vec{OC} \cdot (\vec{OD} - \vec{OA}) = 0$

$\vec{OC} \cdot \vec{OD} = \vec{OC} \cdot \vec{OA}$

$\vec{OD} = k \vec{OC}$とおくと、$k \vec{OC} \cdot \vec{OC} = \vec{OC} \cdot \vec{OA}$

$k = \frac{\vec{OC} \cdot \vec{OA}}{|\vec{OC}|^2}$

$\vec{OC} \cdot \vec{OA} = (\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}) \cdot \vec{OA} = \frac{2}{5}|\vec{OA}|^2 + \frac{3}{5}\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \frac{2}{5} \cdot 9 + \frac{3}{5} \cdot 4 = \frac{18}{5} + \frac{12}{5} = \frac{30}{5} = 6$

$|\vec{OC}|^2 = |\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}|^2 = \frac{4}{25}|\vec{OA}|^2 + \frac{12}{25}\vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{9}{25}|\vec{OB}|^2 = \frac{4}{25} \cdot 9 + \frac{12}{25} \cdot 4 + \frac{9}{25} \cdot 4 = \frac{36}{25} + \frac{48}{25} + \frac{36}{25} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5}$

$k = \frac{6}{\frac{24}{5}} = \frac{6 \cdot 5}{24} = \frac{5}{4}$

$\vec{OD} = \frac{5}{4} \vec{OC} = \frac{5}{4}(\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}) = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}$

(3) 四角形OADBの面積を求める。

四角形OADBの面積 = △OAB + △ADB

△OAB = $\frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin \angle AOB$

$\cos \angle AOB = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}||\vec{OB}|} = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3}$

$\sin^2 \angle AOB + \cos^2 \angle AOB = 1$

$\sin \angle AOB = \sqrt{1 - \cos^2 \angle AOB} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

△OAB = $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$

△ADB = $\frac{1}{2}|\vec{AD}||\vec{AB}|\sin \angle DAB$

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = (\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}) - \vec{OA} = -\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

△ADB = $\frac{1}{2}|\vec{AD}||\vec{AB}|\sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}|\vec{AD}||\vec{OC}| = \frac{1}{2}|\vec{OD} - \vec{OA}||\vec{OB} - \vec{OA}|$

△ADBの面積 = $||\vec{OA}\times\vec{OD}|| = \frac{1}{2}|\vec{AD} \times \vec{AB}| = \frac{1}{2}|(\vec{OD} - \vec{OA}) \times (\vec{OB} - \vec{OA})| = \frac{1}{2}|(\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB} - \vec{OA}) \times (\vec{OB} - \vec{OA})| = \frac{1}{2}|(-\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}) \times (\vec{OB} - \vec{OA})| = \frac{1}{2}|-\frac{1}{2}\vec{OA} \times \vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OA} \times \vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB} \times \vec{OB} - \frac{3}{4}\vec{OB} \times \vec{OA}| = \frac{1}{2}|-\frac{1}{2}\vec{OA} \times \vec{OB} + \frac{3}{4}\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{1}{2}|\frac{1}{4}\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{1}{8}|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{1}{8}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin \angle AOB = \frac{1}{8} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{4}$

四角形OADBの面積 = $\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{4} = \frac{5\sqrt{5}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 4$

(2) $\vec{OC} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}$

(3) 四角形OADBの面積 = $\frac{5\sqrt{5}}{4}$