$\alpha$, $\beta$, $\gamma$は鋭角で、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$, $\tan \gamma = 3$のとき、$\alpha + \beta + \gamma$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$は鋭角で、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$, $\tan \gamma = 3$のとき、$\alpha + \beta + \gamma$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan(\alpha + \beta)$を求める。加法定理より、

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{1 + 2}{1 - 1 \cdot 2} = \frac{3}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3$

次に、$\tan(\alpha + \beta + \gamma)$を求める。加法定理より、

$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan(\alpha + \beta) \tan \gamma} = \frac{-3 + 3}{1 - (-3) \cdot 3} = \frac{0}{1 + 9} = \frac{0}{10} = 0$

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$は鋭角であるため、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, $0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$である。

したがって、$0 < \alpha + \beta + \gamma < \frac{3\pi}{2}$となる。

$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 0$であることから、$\alpha + \beta + \gamma = \pi$

$\tan \alpha = 1$より$\alpha = \frac{\pi}{4}$

$\tan \beta = 2$より$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$

$\tan \gamma = 3$より$0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$を満たす

3. 最終的な答え

$\alpha + \beta + \gamma = \pi$