正六角形ABCDEFにおいて、CDの中点をM、BFとAMの交点をNとするとき、$\overrightarrow{AN}$を$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AF}$で表す。空欄を埋める。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、CDの中点をM、BFとAMの交点をNとするとき、$\overrightarrow{AN}$を$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AF}$で表す。空欄を埋める。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AM}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$で表す過程を見ていく。

\begin{align*}

\overrightarrow{AM} &= \frac{10}{11}\overrightarrow{AC} + \frac{10}{11}\overrightarrow{AD} \\

&= \frac{10}{11}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}) + \frac{10}{11}(2\overrightarrow{BC}) \\

&= \frac{10}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{30}{11}\overrightarrow{BC} \\

&= \frac{10}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{12}{13}\overrightarrow{BC} \\

&= \frac{10}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{12}{13}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}) \\

&= \frac{10}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{12}{13}\overrightarrow{AB} + \frac{12}{13}\overrightarrow{AF} \\

&= (\frac{10}{11}+\frac{12}{13})\overrightarrow{AB} + \frac{12}{13}\overrightarrow{AF}

\end{align*}

$\frac{10}{11} + \frac{12}{13} = \frac{130+132}{143} = \frac{262}{143}$。元の画像の式と少し違うので、問題文に書かれたとおりに計算する。

\begin{align*}

\overrightarrow{AM} = \frac{10}{11}\overrightarrow{AC} + \frac{10}{11}\overrightarrow{AD}

&= \frac{10}{11}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}) + \frac{10}{11} \cdot 2\overrightarrow{BC} \\

&= \frac{10}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{10}{11}\overrightarrow{BC} + \frac{20}{11}\overrightarrow{BC} = \frac{10}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{30}{11}\overrightarrow{BC}

\end{align*}

ここで、$\overrightarrow{BC} = \frac{12}{13}\overrightarrow{AF}$ ではないと仮定する（$\frac{12}{13}$という数字は与えられているので）

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$である。正六角形であることを利用すると$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}$となる。よって、$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$.

\begin{align*}

\overrightarrow{AM} &= \frac{10}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{30}{11}\overrightarrow{BC} \\

&= \frac{10}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{30}{11}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}) \\

&= \frac{10}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{30}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{30}{11}\overrightarrow{AF} \\

&= \frac{40}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{30}{11}\overrightarrow{AF}

\end{align*}

$\frac{40}{11} = \frac{14}{14}$かつ、$\frac{30}{11} = \frac{15}{16}$とあるので、 $\frac{40}{11}$を書き換えると、

$\frac{40}{11} = \frac{14}{14} \approx 1.27$

$\frac{15}{16} = \frac{30}{11}$より、$\frac{15}{16} \approx 0.93$.

AM上に点Nがあるので、$\overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AM}$と書ける。また、BF上にNがあるので、$\overrightarrow{AN} = s\overrightarrow{AB} + (1-s)\overrightarrow{AF}$ともかける。

したがって、$\overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AM}= k(\frac{14}{14}\overrightarrow{AB} + \frac{15}{16}\overrightarrow{AF})$.

$\frac{14}{14} k = s$ ,$\frac{15}{16}k = 1-s$となる。

$\frac{14}{14}k + \frac{15}{16}k = 1$

$(\frac{14}{14} + \frac{15}{16})k = 1$

$k = \frac{1}{\frac{14}{14}+\frac{15}{16}} = \frac{1}{\frac{40}{11}+\frac{30}{11}} = \frac{1}{\frac{70}{11}} = \frac{11}{70}$

$\overrightarrow{AN} = \frac{11}{70} (\frac{40}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{30}{11}\overrightarrow{AF}) = \frac{40}{70}\overrightarrow{AB} + \frac{30}{70}\overrightarrow{AF} = \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AF}$

$\frac{4}{7} = \frac{19}{20}$より、$4 \times 20 = 19 \times 7$, つまり $80=133$ これは矛盾する。

$\frac{3}{7} = \frac{21}{22}$より、$3 \times 22 = 21 \times 7$, つまり $66=147$ これは矛盾する。

問題文のパラメータを順番に計算する。

パラメータの和は$\frac{14}{14}+\frac{15}{16}=\frac{17}{18}$より、

$\frac{40}{11}+\frac{30}{11}=\frac{70}{11}$

$\frac{70}{11} = \frac{17}{18} より、70 \times 18 = 17 \times 11$, つまり $1260 = 187$ これは矛盾する。

$\overrightarrow{AN} = \frac{18}{17}\overrightarrow{AM} = \frac{18}{17}(\frac{19}{20}\overrightarrow{AB} + \frac{21}{22}\overrightarrow{AF})$

$\frac{18}{17} \times \frac{19}{20} = \frac{18 \times 19}{17 \times 20} = \frac{342}{340} = \frac{171}{170}$

$\frac{18}{17} \times \frac{21}{22} = \frac{18 \times 21}{17 \times 22} = \frac{378}{374} = \frac{189}{187}$

3. 最終的な答え

10:40, 11:11, 12:30, 13:11, 14:40, 15:30, 16:11, 17:70, 18:11, 19:4, 20:7, 21:3, 22:7