点$(1,0)$を通り、直線$y=x-1$と$\frac{\pi}{6}$の角をなす直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点$(1,0)$を通り、直線$y=x-1$と$\frac{\pi}{6}$の角をなす直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線$y=x-1$の傾きは1である。求める直線の傾きを$m$とすると、2直線のなす角の公式より、

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\tan \frac{\pi}{6} = \left| \frac{m-1}{1+m} \right|

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$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$なので、

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\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m-1}{1+m} \right|

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場合分けをする。

(i) $\frac{m-1}{1+m} = \frac{1}{\sqrt{3}}$のとき

$\sqrt{3}(m-1) = 1+m$

$(\sqrt{3}-1)m = 1+\sqrt{3}$

$m = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{(1+\sqrt{3})^2}{3-1} = \frac{1+2\sqrt{3}+3}{2} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

(ii) $\frac{m-1}{1+m} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき

$\sqrt{3}(m-1) = -1-m$

$(\sqrt{3}+1)m = \sqrt{3}-1$

$m = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

したがって、傾きは$2+\sqrt{3}$または$2-\sqrt{3}$である。

点$(1,0)$を通るので、

$y = (2+\sqrt{3})(x-1)$または$y = (2-\sqrt{3})(x-1)$

$y = (2+\sqrt{3})x - (2+\sqrt{3})$または$y = (2-\sqrt{3})x - (2-\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$y=(2+\sqrt{3})x-(2+\sqrt{3})$、または$y=(2-\sqrt{3})x-(2-\sqrt{3})$