三角形OABにおいて、$OA=3$, $OB=2$, $OB \perp AB$である。$\angle AOB$の二等分線と辺ABの交点をCとし、直線OC上に$OC \perp AD$を満たす点Dをとる。 (1)内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求めよ。 (2)$\vec{OC}$, $\vec{OD}$を、$\vec{OA}$, $\vec{OB}$を用いて表せ。 (3)四角形OADBの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$OA=3$, $OB=2$, $OB \perp AB$である。$\angle AOB$の二等分線と辺ABの交点をCとし、直線OC上に$OC \perp AD$を満たす点Dをとる。

(1)内積$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求めよ。

(2)$\vec{OC}$, $\vec{OD}$を、$\vec{OA}$, $\vec{OB}$を用いて表せ。

(3)四角形OADBの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 内積の計算

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos \angle AOB$

$OB \perp AB$より、$\vec{OB} \cdot \vec{AB} = 0$

$\vec{OB} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$

$|\vec{OB}|^2 - \vec{OB} \cdot \vec{OA} = 0$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OB}|^2 = 2^2 = 4$

(2) $\vec{OC}$の計算

$\angle AOB$の二等分線と辺ABの交点がCなので、AC:CB = OA:OB = 3:2

$\vec{OC} = \frac{2\vec{OA} + 3\vec{OB}}{3+2} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

$\vec{OD}$の計算

$OC \perp AD$より、$\vec{OC} \cdot \vec{AD} = 0$

$\vec{OC} \cdot (\vec{OD} - \vec{OA}) = 0$

$\vec{OC} \cdot \vec{OD} = \vec{OC} \cdot \vec{OA}$

$\vec{OD} = k\vec{OC}$とおくと、$k (\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}) \cdot (\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}) = (\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}) \cdot \vec{OA}$

$k (\frac{4}{25}|\vec{OA}|^2 + \frac{12}{25}\vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{9}{25}|\vec{OB}|^2) = \frac{2}{5}|\vec{OA}|^2 + \frac{3}{5}\vec{OA} \cdot \vec{OB}$

$k (\frac{4}{25}(9) + \frac{12}{25}(4) + \frac{9}{25}(4)) = \frac{2}{5}(9) + \frac{3}{5}(4)$

$k (\frac{36+48+36}{25}) = \frac{18+12}{5}$

$k (\frac{120}{25}) = \frac{30}{5}$

$k (\frac{24}{5}) = 6$

$k = \frac{6 \cdot 5}{24} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}$

$\vec{OD} = \frac{5}{4}\vec{OC} = \frac{5}{4}(\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}) = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}$

(3) 四角形OADBの面積の計算

四角形OADBの面積 = $\triangle OAB$の面積 + $\triangle ADB$の面積

$\triangle OAB$の面積 = $\frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}|\sin \angle AOB$

$\vec{OB} \perp \vec{AB}$より、$\angle OBA = 90^\circ$

$OA^2 = OB^2 + AB^2$

$3^2 = 2^2 + AB^2$

$AB = \sqrt{5}$

$\triangle OAB$の面積 = $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}$

$\triangle ADB$の面積 = $\frac{1}{2} |\vec{AD}||\vec{OC}|$

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB} - \vec{OA} = -\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}$

$|\vec{AD}|^2 = \frac{1}{4}|\vec{OA}|^2 - \frac{3}{4}\vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{9}{16}|\vec{OB}|^2 = \frac{1}{4}(9) - \frac{3}{4}(4) + \frac{9}{16}(4) = \frac{9}{4} - 3 + \frac{9}{4} = \frac{18}{4} - 3 = \frac{9}{2} - \frac{6}{2} = \frac{3}{2}$

$|\vec{AD}| = \sqrt{\frac{3}{2}}$

$|\vec{OC}|^2 = (\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB})^2 = \frac{4}{25}(9) + \frac{12}{25}(4) + \frac{9}{25}(4) = \frac{36+48+36}{25} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5}$

$|\vec{OC}| = \sqrt{\frac{24}{5}} = 2\sqrt{\frac{6}{5}}$

$\triangle ADB$の面積 = $\frac{1}{2}|\vec{AD}||\vec{OC}|\sin 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{4} \cdot \sqrt{\frac{24}{5}} = 0$

OCとADが垂直なので、$\triangle OAD$と$\triangle ODC$の面積を計算し、$\triangle OAD - \triangle ACD$.

四角形OADBの面積= $\frac{5}{2} \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 4$

(2) $\vec{OC} = \frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$, $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}$

(3) 四角形OADBの面積: $\frac{5\sqrt{5}}{2}$