平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを1:2に内分する点をEとする。直線AEと対角線BDの交点をF, 直線AEと直線CDの交点をGとする。$\vec{AB}=\vec{a}, \vec{AD}=\vec{b}$としたとき、ベクトル$\vec{AE}, \vec{AF}, \vec{AG}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを1:2に内分する点をEとする。直線AEと対角線BDの交点をF, 直線AEと直線CDの交点をGとする。$\vec{AB}=\vec{a}, \vec{AD}=\vec{b}$としたとき、ベクトル$\vec{AE}, \vec{AF}, \vec{AG}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AE}$を求める。

点Eは辺BCを1:2に内分するので、

$\vec{BE}=\frac{1}{3}\vec{BC}=\frac{1}{3}\vec{AD}=\frac{1}{3}\vec{b}$

よって、

$\vec{AE}=\vec{AB}+\vec{BE}=\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$

(2) $\vec{AF}$を求める。

点Fは直線AE上にあるので、実数sを用いて$\vec{AF}=s\vec{AE}$と表せる。

$\vec{AF}=s(\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b})=s\vec{a}+\frac{s}{3}\vec{b}$

一方、点Fは直線BD上にあるので、実数tを用いて$\vec{AF}=(1-t)\vec{AB}+t\vec{AD}$と表せる。

$\vec{AF}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$s=1-t$

$\frac{s}{3}=t$

この2式を解くと、

$s=1-\frac{s}{3}$

$\frac{4s}{3}=1$

$s=\frac{3}{4}$

$t=\frac{1}{4}$

よって、

$\vec{AF}=\frac{3}{4}\vec{AE}=\frac{3}{4}(\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b})=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}$

(3) $\vec{AG}$を求める。

点Gは直線AE上にあるので、実数kを用いて$\vec{AG}=k\vec{AE}$と表せる。

$\vec{AG}=k(\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b})=k\vec{a}+\frac{k}{3}\vec{b}$

一方、点Gは直線CD上にあるので、$\vec{AG}=\vec{AD}+\vec{DG}$と表せる。$\vec{DG}=l\vec{DC}$（lは実数）とおくと、

$\vec{DG}=l\vec{DC}=l\vec{AB}=l\vec{a}$

よって、

$\vec{AG}=\vec{AD}+\vec{DG}=\vec{b}+l\vec{a}=l\vec{a}+\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$k=l$

$\frac{k}{3}=1$

この2式を解くと、

$k=3$

$l=3$

よって、

$\vec{AG}=3\vec{AE}=3(\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b})=3\vec{a}+\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{AE}=\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$

$\vec{AF}=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}$

$\vec{AG}=3\vec{a}+\vec{b}$