袋の中に赤玉1個、白玉2個が入っている。袋から玉を1個取り出して元に戻す試行を5回行うとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉1個、白玉2個が入っている。袋から玉を1個取り出して元に戻す試行を5回行うとき、赤玉がちょうど2回出る確率を求める。

2. 解き方の手順

これは反復試行の問題です。

1回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{1}{3}$、赤玉が出ない確率は $\frac{2}{3}$ です。

5回の試行のうち、2回赤玉が出る確率は、二項分布の考え方を用いて計算します。

二項分布の確率の公式は以下の通りです。

$P(X=k) = {}_n \mathrm{C}_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

ここで、$n$ は試行回数、$k$ は成功回数、$p$ は成功確率です。

この問題では、$n=5$, $k=2$, $p=\frac{1}{3}$ なので、

$P(X=2) = {}_5 \mathrm{C}_2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{5-2}$

$P(X=2) = {}_5 \mathrm{C}_2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3$

${}_5 \mathrm{C}_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$P(X=2) = 10 \cdot \left(\frac{1}{9}\right) \cdot \left(\frac{8}{27}\right)$

$P(X=2) = 10 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{80}{243}$