赤玉3個、白玉2個が入った袋から同時に3個の玉を取り出す。赤玉1個につき100円もらえるとき、1回の試行で受け取る金額の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉3個、白玉2個が入った袋から同時に3個の玉を取り出す。赤玉1個につき100円もらえるとき、1回の試行で受け取る金額の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉の取り出し方の場合の数を計算します。

袋の中には合計で5個の玉が入っているので、5個から3個を選ぶ組み合わせの数は、

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

次に、取り出した3個の玉に含まれる赤玉の個数ごとに、金額と確率を計算します。

* 赤玉が3個の場合：${}_3 C_3 \times {}_2 C_0 = 1 \times 1 = 1$通り。金額は300円。確率は$\frac{1}{10}$

* 赤玉が2個の場合：${}_3 C_2 \times {}_2 C_1 = 3 \times 2 = 6$通り。金額は200円。確率は$\frac{6}{10}$

* 赤玉が1個の場合：${}_3 C_1 \times {}_2 C_2 = 3 \times 1 = 3$通り。金額は100円。確率は$\frac{3}{10}$

期待値は、各金額とその確率の積の合計で求められます。

$期待値 = 300 \times \frac{1}{10} + 200 \times \frac{6}{10} + 100 \times \frac{3}{10} = 30 + 120 + 30 = 180$

3. 最終的な答え

180 (円)