複素数 $\alpha, \beta$ に対して、$\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta$ が純虚数であることを証明する。ただし、$\alpha\overline{\beta}$ は実数ではないとする。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha, \beta$ に対して、$\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta$ が純虚数であることを証明する。ただし、$\alpha\overline{\beta}$ は実数ではないとする。

2. 解き方の手順

$\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta$ が純虚数であるためには、その共役複素数が元の数の $-1$ 倍になることを示せばよい。つまり、

$\overline{\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta} = - (\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta)$

が成り立つことを示す。

共役複素数の性質を利用すると、

$\overline{\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta} = \overline{\alpha\overline{\beta}} - \overline{\overline{\alpha}\beta} = \overline{\alpha} \overline{\overline{\beta}} - \overline{\overline{\alpha}} \overline{\beta} = \overline{\alpha}\beta - \alpha\overline{\beta} = - (\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta)$

したがって、$\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta$ は純虚数である。

$\alpha\overline{\beta}$ が実数ではないという条件は、$\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta$ が $0$ にならないことを保証するために必要である。もし $\alpha\overline{\beta}$ が実数ならば、$\alpha\overline{\beta} = \overline{\alpha\overline{\beta}} = \overline{\alpha}\beta$ となり、$\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta = 0$ となってしまい、純虚数とは言えなくなる。

3. 最終的な答え

$\alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta$ は純虚数である。