定積分 $\int_{-1}^{2} (-x-2)(3x+3) dx + 2\int_{0}^{2} (-x+4)(-x+2) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (-x-2)(3x+3) dx + 2\int_{0}^{2} (-x+4)(-x+2) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積分を計算します。

1つ目の積分：

$\int_{-1}^{2} (-x-2)(3x+3) dx = \int_{-1}^{2} (-3x^2 - 9x - 6) dx$

$= [-x^3 - \frac{9}{2}x^2 - 6x]_{-1}^{2}$

$= (-8 - 18 - 12) - (1 - \frac{9}{2} + 6)$

$= -38 - (7 - \frac{9}{2})$

$= -38 - (\frac{14}{2} - \frac{9}{2})$

$= -38 - \frac{5}{2}$

$= -\frac{76}{2} - \frac{5}{2}$

$= -\frac{81}{2}$

2つ目の積分：

$\int_{0}^{2} (-x+4)(-x+2) dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 6x + 8) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x]_{0}^{2}$

$= (\frac{8}{3} - 12 + 16) - (0)$

$= \frac{8}{3} + 4$

$= \frac{8}{3} + \frac{12}{3}$

$= \frac{20}{3}$

与えられた式に代入します。

$\int_{-1}^{2} (-x-2)(3x+3) dx + 2\int_{0}^{2} (-x+4)(-x+2) dx = -\frac{81}{2} + 2(\frac{20}{3})$

$= -\frac{81}{2} + \frac{40}{3}$

$= -\frac{243}{6} + \frac{80}{6}$

$= -\frac{163}{6}$

3. 最終的な答え

$-\frac{163}{6}$