(1) $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 3x}{x^2}$ を求める。 (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{1-\cos x}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 3x}{x^2}$ を求める。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{1-\cos x}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 3x}{x^2}$を求める。

$1 - \cos 3x = 2 \sin^2 \frac{3x}{2}$より、

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}$

$= 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{3x}{2}}{x} \right)^2 = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3}{2} \right)^2$

$= 2 \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3}{2} \right)^2 = 2 \left( 1 \cdot \frac{3}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{1-\cos x}$を求める。

$\sin x^2 \sim x^2$ ($x \to 0$), $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \sim 2 (\frac{x}{2})^2 = \frac{x^2}{2}$ ($x \to 0$)なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} = 2$

あるいは、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2} \cdot \frac{x^2}{1-\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x} = 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2 \sin^2 \frac{x}{2}}$

$= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin \frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot 2 \right)^2$

$= \frac{1}{2} \left( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \lim_{x \to 0} 2 \right)^2 = \frac{1}{2} (1 \cdot 2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(2) 2