$\cos 3\omega t$ の項の係数 $a_3$ が 0 になることを、ヒントにある三角関数の公式を使って示す問題です。ヒントは、積和の公式の1つである $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\}$ です。問題文にはこれ以上の情報がないため、この公式がどのように適用されるかを推測する必要があります。$\omega$ や $t$ が何であるか、どのような関数展開における係数 $a_3$ なのかが不明ですが、$\sin$ と $\cos$ の積の形が現れるような状況で、その積の積分が0になることを示すのではないかと考えられます。ここでは、$\cos3\omega t$ の項が何らかの関数のフーリエ級数展開に含まれている状況を考え、積分を通して係数 $a_3$ が0になることを示します。

1. 問題の内容

$\cos 3\omega t$ の項の係数 $a_3$ が 0 になることを、ヒントにある三角関数の公式を使って示す問題です。ヒントは、積和の公式の1つである $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\}$ です。問題文にはこれ以上の情報がないため、この公式がどのように適用されるかを推測する必要があります。$\omega$ や $t$ が何であるか、どのような関数展開における係数 $a_3$ なのかが不明ですが、$\sin$ と $\cos$ の積の形が現れるような状況で、その積の積分が0になることを示すのではないかと考えられます。ここでは、$\cos3\omega t$ の項が何らかの関数のフーリエ級数展開に含まれている状況を考え、積分を通して係数 $a_3$ が0になることを示します。

2. 解き方の手順

まず、フーリエ級数展開における係数の公式を考えます。ある周期関数 $f(t)$ のフーリエ級数展開を考え、その展開の $\cos n\omega t$ の項の係数を $a_n$ とすると、

$a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos n\omega t \, dt$

となります。ここで、$T$ は周期、$\omega = 2\pi / T$ です。

$a_3 = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos 3\omega t \, dt$

が 0 になることを示したいわけです。

$f(t)$ が $\sin \omega t$ の形をしている場合、つまり $f(t) = A \sin \omega t$ ($A$ は定数) の場合を考えます。このとき、

$a_3 = \frac{2}{T} \int_0^T A \sin \omega t \cos 3\omega t \, dt$

ここで、ヒントの公式 $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\}$ を用いると、

$a_3 = \frac{2A}{T} \int_0^T \frac{1}{2} \{\sin (\omega t + 3\omega t) + \sin (\omega t - 3\omega t) \} \, dt$

$a_3 = \frac{A}{T} \int_0^T \{\sin (4\omega t) + \sin (-2\omega t) \} \, dt$

$a_3 = \frac{A}{T} \int_0^T \{\sin (4\omega t) - \sin (2\omega t) \} \, dt$

三角関数の積分は1周期にわたって積分すると0になるので、

$\int_0^T \sin (4\omega t) \, dt = 0$

$\int_0^T \sin (2\omega t) \, dt = 0$

したがって、$a_3 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$f(t) = A\sin\omega t$ のとき、フーリエ級数展開における $\cos 3\omega t$ の項の係数 $a_3$ は 0 である。