次の2つの関数を、xの5次の項まで級数展開します。 (1) $f(x) = \cos x$ (2) $f(x) = \log(x+1)$

1. 問題の内容

次の2つの関数を、xの5次の項まで級数展開します。

(1) $f(x) = \cos x$

(2) $f(x) = \log(x+1)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \cos x$ の場合：

$\cos x$ のマクローリン展開（原点中心のテイラー展開）を利用します。

$\cos x$ の導関数は次のようになります。

$f(x) = \cos x$

$f'(x) = -\sin x$

$f''(x) = -\cos x$

$f'''(x) = \sin x$

$f^{(4)}(x) = \cos x$

$f^{(5)}(x) = -\sin x$

各導関数に $x=0$ を代入すると：

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(0) = -\sin 0 = 0$

$f''(0) = -\cos 0 = -1$

$f'''(0) = \sin 0 = 0$

$f^{(4)}(0) = \cos 0 = 1$

$f^{(5)}(0) = -\sin 0 = 0$

マクローリン展開の公式は次の通りです。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + \cdots$

これに上記の結果を代入すると：

$f(x) = 1 + 0\cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 + \cdots$

$f(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots$

(2) $f(x) = \log(x+1)$ の場合：

$\log(x+1)$ のマクローリン展開を利用します。

$f(x) = \log(x+1)$

$f'(x) = \frac{1}{x+1}$

$f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{(x+1)^3}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(x+1)^4}$

$f^{(5)}(x) = \frac{24}{(x+1)^5}$

各導関数に $x=0$ を代入すると：

$f(0) = \log(0+1) = \log(1) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{0+1} = 1$

$f''(0) = -\frac{1}{(0+1)^2} = -1$

$f'''(0) = \frac{2}{(0+1)^3} = 2$

$f^{(4)}(0) = -\frac{6}{(0+1)^4} = -6$

$f^{(5)}(0) = \frac{24}{(0+1)^5} = 24$

マクローリン展開の公式に代入すると：

$f(x) = 0 + 1\cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{-6}{4!}x^4 + \frac{24}{5!}x^5 + \cdots$

$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + \cdots$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \cos x$ の5次までの展開：

$f(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$

(2) $f(x) = \log(x+1)$ の5次までの展開：

$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5}$