与えられた関数 $y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求める問題です。

わかりました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(3) $y = \frac{\cos 4x}{x+1}$

商の微分公式 $\frac{d}{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ を用いる。

$u = \cos 4x$, $v = x+1$ とすると、

$\frac{du}{dx} = -4 \sin 4x$

$\frac{dv}{dx} = 1$

したがって、

$y' = \frac{(x+1)(-4\sin 4x) - (\cos 4x)(1)}{(x+1)^2}$

$y' = \frac{-4(x+1)\sin 4x - \cos 4x}{(x+1)^2}$

(4) $y = \frac{x^2}{\tan x}$

商の微分公式 $\frac{d}{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ を用いる。

$u = x^2$, $v = \tan x$ とすると、

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dv}{dx} = \sec^2 x$

したがって、

$y' = \frac{(\tan x)(2x) - (x^2)(\sec^2 x)}{\tan^2 x}$

$y' = \frac{2x \tan x - x^2 \sec^2 x}{\tan^2 x}$

(5) $y = \sin(x^2 + x - 1)$

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$ を用いる。

$f(u) = \sin u$, $g(x) = x^2 + x - 1$ とすると、

$f'(u) = \cos u$

$g'(x) = 2x + 1$

したがって、

$y' = \cos(x^2+x-1) (2x+1)$

$y' = (2x+1)\cos(x^2+x-1)$

(6) $y = \tan(\sqrt{x} - 1)$

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$ を用いる。

$f(u) = \tan u$, $g(x) = \sqrt{x} - 1$ とすると、

$f'(u) = \sec^2 u$

$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$y' = \sec^2(\sqrt{x}-1) (\frac{1}{2\sqrt{x}})$

$y' = \frac{\sec^2(\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}}$

(7) $y = \frac{1}{(\cos 3x + 1)^2} = (\cos 3x + 1)^{-2}$

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$ を用いる。

$f(u) = u^{-2}$, $g(x) = \cos 3x + 1$ とすると、

$f'(u) = -2u^{-3}$

$g'(x) = -3\sin 3x$

したがって、

$y' = -2(\cos 3x + 1)^{-3} (-3\sin 3x)$

$y' = \frac{6\sin 3x}{(\cos 3x + 1)^3}$

(8) $y = \sqrt{\tan x + \cot x} = (\tan x + \cot x)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$ を用いる。

$f(u) = u^{\frac{1}{2}}$, $g(x) = \tan x + \cot x$ とすると、

$f'(u) = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}}$

$g'(x) = \sec^2 x - \csc^2 x$

したがって、

$y' = \frac{1}{2}(\tan x + \cot x)^{-\frac{1}{2}} (\sec^2 x - \csc^2 x)$

$y' = \frac{\sec^2 x - \csc^2 x}{2\sqrt{\tan x + \cot x}}$

(9) $y = e^{\cos x}$

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$ を用いる。

$f(u) = e^u$, $g(x) = \cos x$ とすると、

$f'(u) = e^u$

$g'(x) = -\sin x$

したがって、

$y' = e^{\cos x} (-\sin x)$

$y' = -\sin x e^{\cos x}$

(10) $y = \sin(\log x)$

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$ を用いる。ただし、$\log x$ は自然対数とする。

$f(u) = \sin u$, $g(x) = \log x$ とすると、

$f'(u) = \cos u$

$g'(x) = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = \cos(\log x) (\frac{1}{x})$

$y' = \frac{\cos(\log x)}{x}$

3. 最終的な答え

(3) $y' = \frac{-4(x+1)\sin 4x - \cos 4x}{(x+1)^2}$

(4) $y' = \frac{2x \tan x - x^2 \sec^2 x}{\tan^2 x}$

(5) $y' = (2x+1)\cos(x^2+x-1)$

(6) $y' = \frac{\sec^2(\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}}$

(7) $y' = \frac{6\sin 3x}{(\cos 3x + 1)^3}$

(8) $y' = \frac{\sec^2 x - \csc^2 x}{2\sqrt{\tan x + \cot x}}$

(9) $y' = -\sin x e^{\cos x}$

(10) $y' = \frac{\cos(\log x)}{x}$