関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の定積分を利用して、以下の不等式を証明する問題です。ただし、$n$ は自然数です。 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の定積分を利用して、以下の不等式を証明する問題です。ただし、$n$ は自然数です。

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$

2. 解き方の手順

$f(x) = \frac{1}{x}$ を考えます。

$x>0$ において、$f(x)$ は単調減少関数です。

区間 $[k, k+1]$ において、

$\frac{1}{k} \geq \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx$

が成り立ちます。

これを $k=1$ から $n$ まで足し合わせます。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \geq \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx$

右辺を計算すると、

$\sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx + \int_{2}^{3} \frac{1}{x} dx + \cdots + \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx = \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx$

$\int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx = [\log(x)]_{1}^{n+1} = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \geq \log(n+1)$

すなわち

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$

3. 最終的な答え

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \log(n+1)$