与えられた関数を微分する問題です。具体的には、 (1) $y = (x^2 - x) \log(x-1)$ (3) $y = \frac{x^2 + 2}{\log x}$ (5) $y = \log(x + \frac{1}{x})$ をそれぞれ微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、

(1) $y = (x^2 - x) \log(x-1)$

(3) $y = \frac{x^2 + 2}{\log x}$

(5) $y = \log(x + \frac{1}{x})$

をそれぞれ微分します。

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^2 - x) \log(x-1)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2 - x$, $v = \log(x-1)$ とすると、

$u' = 2x - 1$, $v' = \frac{1}{x-1}$ となります。

したがって、

$y' = (2x - 1) \log(x-1) + (x^2 - x) \frac{1}{x-1}$

$y' = (2x - 1) \log(x-1) + \frac{x(x-1)}{x-1}$

$y' = (2x - 1) \log(x-1) + x$

(3) $y = \frac{x^2 + 2}{\log x}$

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x^2 + 2$, $v = \log x$ とすると、

$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$ となります。

したがって、

$y' = \frac{2x \log x - (x^2 + 2) \frac{1}{x}}{(\log x)^2}$

$y' = \frac{2x \log x - \frac{x^2 + 2}{x}}{(\log x)^2}$

$y' = \frac{\frac{2x^2 \log x - x^2 - 2}{x}}{(\log x)^2}$

$y' = \frac{2x^2 \log x - x^2 - 2}{x (\log x)^2}$

(5) $y = \log(x + \frac{1}{x})$

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ を用います。

$u = x + \frac{1}{x}$ とすると、$y = \log u$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$, $\frac{du}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ となります。

したがって、

$y' = \frac{1}{x + \frac{1}{x}} (1 - \frac{1}{x^2})$

$y' = \frac{1}{\frac{x^2 + 1}{x}} (\frac{x^2 - 1}{x^2})$

$y' = \frac{x}{x^2 + 1} \frac{x^2 - 1}{x^2}$

$y' = \frac{x^2 - 1}{x(x^2 + 1)}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (2x - 1) \log(x-1) + x$

(3) $y' = \frac{2x^2 \log x - x^2 - 2}{x (\log x)^2}$

(5) $y' = \frac{x^2 - 1}{x(x^2 + 1)}$