与えられた8つの関数を微分せよ。 (1) $y = (x-1)\log(x+1)$ (2) $y = (\log x + 1)\log x$ (3) $y = \frac{\log x - 1}{x}$ (4) $y = \frac{x-1}{\log x + 1}$ (5) $y = \log(x^4 + x^2 - 1)$ (6) $y = \log(\sqrt{x} - 3)$ (7) $y = \frac{1}{(\log x - 5)^2}$ (8) $y = \sqrt{\log x + 2}$ ここで $\log$ は自然対数（底が $e$ ）を表すとします。

## 数学の問題を解く

1. 問題の内容

与えられた8つの関数を微分せよ。

(1) $y = (x-1)\log(x+1)$

(2) $y = (\log x + 1)\log x$

(3) $y = \frac{\log x - 1}{x}$

(4) $y = \frac{x-1}{\log x + 1}$

(5) $y = \log(x^4 + x^2 - 1)$

(6) $y = \log(\sqrt{x} - 3)$

(7) $y = \frac{1}{(\log x - 5)^2}$

(8) $y = \sqrt{\log x + 2}$

ここで $\log$ は自然対数（底が $e$ ）を表すとします。

2. 解き方の手順

各関数について、微分公式（積の微分、商の微分、合成関数の微分など）を適用して微分を計算します。対数関数の微分は $(\log x)' = \frac{1}{x}$ を用います。

(1) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x-1, v = \log(x+1)$ とすると、 $u' = 1, v' = \frac{1}{x+1}$

よって、

$y' = (x-1)'\log(x+1) + (x-1)(\log(x+1))' = 1 \cdot \log(x+1) + (x-1)\frac{1}{x+1} = \log(x+1) + \frac{x-1}{x+1} = \log(x+1) + 1 - \frac{2}{x+1}$

(2) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = \log x + 1, v = \log x$ とすると、$u' = \frac{1}{x}, v' = \frac{1}{x}$

よって、

$y' = (\log x + 1)'\log x + (\log x + 1)(\log x)' = \frac{1}{x} \log x + (\log x + 1) \frac{1}{x} = \frac{\log x}{x} + \frac{\log x + 1}{x} = \frac{2\log x + 1}{x}$

(3) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \log x - 1, v = x$ とすると、$u' = \frac{1}{x}, v' = 1$

よって、

$y' = \frac{(\log x - 1)'x - (\log x - 1)x'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x}x - (\log x - 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x + 1}{x^2} = \frac{2 - \log x}{x^2}$

(4) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x-1, v = \log x + 1$ とすると、$u' = 1, v' = \frac{1}{x}$

よって、

$y' = \frac{(x-1)'(\log x + 1) - (x-1)(\log x + 1)'}{(\log x + 1)^2} = \frac{1 \cdot (\log x + 1) - (x-1)\frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2} = \frac{\log x + 1 - 1 + \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2} = \frac{\log x + \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2}$

(5) 合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$ を用います。

$f(u) = \log u, g(x) = x^4 + x^2 - 1$ とすると、$f'(u) = \frac{1}{u}, g'(x) = 4x^3 + 2x$

よって、

$y' = \frac{1}{x^4 + x^2 - 1}(4x^3 + 2x) = \frac{4x^3 + 2x}{x^4 + x^2 - 1}$

(6) 合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$ を用います。

$f(u) = \log u, g(x) = \sqrt{x} - 3$ とすると、$f'(u) = \frac{1}{u}, g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

よって、

$y' = \frac{1}{\sqrt{x} - 3}\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{1}{2(x-3\sqrt{x})}$

(7) 合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$ を用います。

$f(u) = \frac{1}{u^2} = u^{-2}, g(x) = \log x - 5$ とすると、$f'(u) = -2u^{-3} = -\frac{2}{u^3}, g'(x) = \frac{1}{x}$

よって、

$y' = -\frac{2}{(\log x - 5)^3} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2}{x(\log x - 5)^3}$

(8) 合成関数の微分公式 $(f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x)$ を用います。

$f(u) = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}, g(x) = \log x + 2$ とすると、$f'(u) = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}, g'(x) = \frac{1}{x}$

よって、

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\log x + 2}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x\sqrt{\log x + 2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \log(x+1) + \frac{x-1}{x+1} = \log(x+1) + 1 - \frac{2}{x+1}$

(2) $y' = \frac{2\log x + 1}{x}$

(3) $y' = \frac{2 - \log x}{x^2}$

(4) $y' = \frac{\log x + \frac{1}{x}}{(\log x + 1)^2}$

(5) $y' = \frac{4x^3 + 2x}{x^4 + x^2 - 1}$

(6) $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{1}{2(x-3\sqrt{x})}$

(7) $y' = -\frac{2}{x(\log x - 5)^3}$

(8) $y' = \frac{1}{2x\sqrt{\log x + 2}}$