与えられた関数が指定された範囲で最大値と最小値を持つかどうかを判断し、持つ場合はその値を求めます。関数は以下の3つです。 (1) $y = 2^{-x} \quad (0 \le x \le 1)$ (2) $y = 3\cos 2x \quad (0 < x < \pi)$ (3) $y = \frac{1}{x} \quad (-1 \le x < 0)$

1. 問題の内容

与えられた関数が指定された範囲で最大値と最小値を持つかどうかを判断し、持つ場合はその値を求めます。関数は以下の3つです。

(1) $y = 2^{-x} \quad (0 \le x \le 1)$

(2) $y = 3\cos 2x \quad (0 < x < \pi)$

(3) $y = \frac{1}{x} \quad (-1 \le x < 0)$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2^{-x}$ について：

$2^{-x}$ は減少関数です。区間 $0 \le x \le 1$ で連続なので、最大値と最小値を持ちます。

最大値は $x = 0$ のとき $y = 2^{-0} = 1$ です。

最小値は $x = 1$ のとき $y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$ です。

(2) $y = 3\cos 2x$ について：

$0 < x < \pi$ の範囲で $0 < 2x < 2\pi$ です。

$\cos 2x$ は $2x = 0$ で最大値 $1$ を、 $2x = \pi$ で最小値 $-1$ をとります。

$2x = 0$ は $x = 0$ に対応し、区間 $0 < x < \pi$ には含まれません。

$2x = \pi$ は $x = \frac{\pi}{2}$ に対応し、区間 $0 < x < \pi$ に含まれます。

$2x$ が $0$ に近づくとき、$x$ が $0$ に近づき、$y$ は $3$ に近づきますが、$3$ は最大値ではありません。

$2x$ が $2\pi$ に近づくとき、$x$ が $\pi$ に近づき、$y$ は $3$ に近づきますが、$3$ は最大値ではありません。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y = 3\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 3\cos \pi = -3$ です。

したがって、最小値は $-3$ です。しかし、最大値は存在しません。

(3) $y = \frac{1}{x}$ について：

$\frac{1}{x}$ は減少関数です。区間 $-1 \le x < 0$ で定義されています。

$x = -1$ のとき $y = \frac{1}{-1} = -1$ です。これが最大値です。

$x$ が $0$ に近づくとき、$y$ は $-\infty$ に発散します。したがって、最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：$1$、最小値：$\frac{1}{2}$

(2) 最大値：なし、最小値：$-3$

(3) 最大値：$-1$、最小値：なし