部分積分法を用いて、次の3つの不定積分を計算します。 (1) $\int 3xe^{2x} dx$ (2) $\int x\cos 2x dx$ (3) $\int x^2\sin x dx$

1. 問題の内容

部分積分法を用いて、次の3つの不定積分を計算します。

(1) $\int 3xe^{2x} dx$

(2) $\int x\cos 2x dx$

(3) $\int x^2\sin x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 3xe^{2x} dx$ の計算

$u = 3x$, $dv = e^{2x} dx$ とすると、 $du = 3 dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

部分積分法より、

$$\int 3xe^{2x} dx = 3x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 3 dx = \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{2} \int e^{2x} dx$$

$$= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C = \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{4}e^{2x} + C = \frac{3}{4}e^{2x}(2x - 1) + C$$

(2) $\int x\cos 2x dx$ の計算

$u = x$, $dv = \cos 2x dx$ とすると、 $du = dx$, $v = \frac{1}{2}\sin 2x$ となります。

部分積分法より、

$$\int x\cos 2x dx = x \cdot \frac{1}{2}\sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x dx = \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x dx$$

$$= \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) + C = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$$

(3) $\int x^2\sin x dx$ の計算

$u = x^2$, $dv = \sin x dx$ とすると、 $du = 2x dx$, $v = -\cos x$ となります。

部分積分法より、

$$\int x^2\sin x dx = x^2 \cdot (-\cos x) - \int (-\cos x) \cdot 2x dx = -x^2\cos x + 2\int x\cos x dx$$

次に、$\int x\cos x dx$ を計算します。$u = x$, $dv = \cos x dx$ とすると、 $du = dx$, $v = \sin x$ となります。

$$\int x\cos x dx = x\sin x - \int \sin x dx = x\sin x - (-\cos x) + C = x\sin x + \cos x + C$$

したがって、

$$\int x^2\sin x dx = -x^2\cos x + 2(x\sin x + \cos x) + C = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int 3xe^{2x} dx = \frac{3}{4}e^{2x}(2x - 1) + C$

(2) $\int x\cos 2x dx = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C$

(3) $\int x^2\sin x dx = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C$