与えられた関数 $y$ を微分する問題です。関数は三角関数を含んでおり、公式3.4と6.6（おそらく微分公式）を利用して微分します。

はい、承知いたしました。それでは、問題(1)から(8)までを解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ を微分する問題です。関数は三角関数を含んでおり、公式3.4と6.6（おそらく微分公式）を利用して微分します。

2. 解き方の手順

(1) $y = \tan 2x \cos 2x$

まず、$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ と書き換えます。すると、

$y = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} \cos 2x = \sin 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2 \cos 2x$

(2) $y = \cot \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}$

$\cot \frac{x}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$ なので、

$y = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \sin \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}$

(3) $y = \sin^2 3x \csc 3x$

$\csc 3x = \frac{1}{\sin 3x}$ なので、

$y = \sin^2 3x \cdot \frac{1}{\sin 3x} = \sin 3x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3 \cos 3x$

(4) $y = \sec \frac{x}{3} \cos^2 \frac{x}{3}$

$\sec \frac{x}{3} = \frac{1}{\cos \frac{x}{3}}$ なので、

$y = \frac{1}{\cos \frac{x}{3}} \cos^2 \frac{x}{3} = \cos \frac{x}{3}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}$

(5) $y = \tan^2 \frac{x}{4} \cot \frac{x}{4}$

$\cot \frac{x}{4} = \frac{1}{\tan \frac{x}{4}}$ なので、

$y = \tan^2 \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{\tan \frac{x}{4}} = \tan \frac{x}{4}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \sec^2 \frac{x}{4}$

(6) $y = \frac{\tan 4x}{\sec 4x}$

$\tan 4x = \frac{\sin 4x}{\cos 4x}$ および $\sec 4x = \frac{1}{\cos 4x}$ なので、

$y = \frac{\frac{\sin 4x}{\cos 4x}}{\frac{1}{\cos 4x}} = \frac{\sin 4x}{\cos 4x} \cdot \cos 4x = \sin 4x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 4 \cos 4x$

(7) $y = \frac{\cot 5x}{\csc 5x}$

$\cot 5x = \frac{\cos 5x}{\sin 5x}$ および $\csc 5x = \frac{1}{\sin 5x}$ なので、

$y = \frac{\frac{\cos 5x}{\sin 5x}}{\frac{1}{\sin 5x}} = \frac{\cos 5x}{\sin 5x} \cdot \sin 5x = \cos 5x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -5 \sin 5x$

(8) $y = \frac{\sec \frac{x}{5}}{\csc \frac{x}{5}}$

$\sec \frac{x}{5} = \frac{1}{\cos \frac{x}{5}}$ および $\csc \frac{x}{5} = \frac{1}{\sin \frac{x}{5}}$ なので、

$y = \frac{\frac{1}{\cos \frac{x}{5}}}{\frac{1}{\sin \frac{x}{5}}} = \frac{1}{\cos \frac{x}{5}} \cdot \sin \frac{x}{5} = \frac{\sin \frac{x}{5}}{\cos \frac{x}{5}} = \tan \frac{x}{5}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} \sec^2 \frac{x}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 2 \cos 2x$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 3 \cos 3x$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} \sin \frac{x}{3}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \sec^2 \frac{x}{4}$

(6) $\frac{dy}{dx} = 4 \cos 4x$

(7) $\frac{dy}{dx} = -5 \sin 5x$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} \sec^2 \frac{x}{5}$