2点A(2, 3)とB(-1, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求め、図示すること。

1. 問題の内容

2点A(2, 3)とB(-1, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求め、図示すること。

2. 解き方の手順

まず、点Pの座標を(x, y)とします。問題文より、AP:BP = 1:2なので、AP = 2BPとなります。

両辺を2乗すると、AP^2 = 4BP^2となります。

AP^2を(x, y)とA(2, 3)で表すと、

$AP^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2$

同様に、BP^2を(x, y)とB(-1, 0)で表すと、

$BP^2 = (x + 1)^2 + (y - 0)^2 = (x + 1)^2 + y^2$

これらをAP^2 = 4BP^2に代入すると、

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4((x + 1)^2 + y^2)$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 4(x^2 + 2x + 1 + y^2)$

$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13 = 4x^2 + 8x + 4 + 4y^2$

$0 = 3x^2 + 12x + 3y^2 + 6y - 9$

$0 = x^2 + 4x + y^2 + 2y - 3$

両辺を3で割ると、

$x^2 + 4x + y^2 + 2y - 3 = 0$

平方完成を行います。

$(x^2 + 4x) + (y^2 + 2y) - 3 = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) - 3 - 4 - 1 = 0$

$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 8$

これは、中心が(-2, -1)、半径が$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$の円を表します。

3. 最終的な答え

点Pの軌跡は、中心が(-2, -1)、半径が$2\sqrt{2}$の円です。

$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 8$