(1) 多項式 $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ が与えられている。 (ア) $x+1$ (イ) $x+2$ が $P(x)$ の因数であるかどうかを調べる。 (2) 多項式 $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$ が与えられている。 (ア) $x-1$ (イ) $x+3$ が $P(x)$ の因数であるかどうかを調べる。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ が与えられている。

(ア) $x+1$

(イ) $x+2$

が $P(x)$ の因数であるかどうかを調べる。

(2) 多項式 $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$ が与えられている。

(ア) $x-1$

(イ) $x+3$

が $P(x)$ の因数であるかどうかを調べる。

2. 解き方の手順

因数定理を利用する。因数定理とは、多項式 $P(x)$ について、$P(a)=0$ ならば $x-a$ は $P(x)$ の因数であるという定理である。

(1) (ア) $x+1$ が $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ の因数かどうかを調べる。

$x+1 = 0$ より $x = -1$

$P(-1) = (-1)^3 + 4(-1)^2 + (-1) - 6 = -1 + 4 - 1 - 6 = -4$

$P(-1) \neq 0$ なので、$x+1$ は $P(x)$ の因数ではない。

(1) (イ) $x+2$ が $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ の因数かどうかを調べる。

$x+2 = 0$ より $x = -2$

$P(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + (-2) - 6 = -8 + 16 - 2 - 6 = 0$

$P(-2) = 0$ なので、$x+2$ は $P(x)$ の因数である。

(2) (ア) $x-1$ が $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$ の因数かどうかを調べる。

$x-1 = 0$ より $x = 1$

$P(1) = (1)^3 - 5(1)^2 + 7(1) - 3 = 1 - 5 + 7 - 3 = 0$

$P(1) = 0$ なので、$x-1$ は $P(x)$ の因数である。

(2) (イ) $x+3$ が $P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3$ の因数かどうかを調べる。

$x+3 = 0$ より $x = -3$

$P(-3) = (-3)^3 - 5(-3)^2 + 7(-3) - 3 = -27 - 45 - 21 - 3 = -96$

$P(-3) \neq 0$ なので、$x+3$ は $P(x)$ の因数ではない。

3. 最終的な答え

(1) (ア) $x+1$ は因数ではない。

(1) (イ) $x+2$ は因数である。

(2) (ア) $x-1$ は因数である。

(2) (イ) $x+3$ は因数ではない。