与えられた二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 1$ を平方完成しなさい。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 1$ を平方完成しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$の項と$x$の項を$-\frac{1}{2}$でくくります。

$$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x) - 1$$

次に、括弧の中を平方完成します。 $x^2 - 8x$ を平方完成するために、$x$の係数$-8$ の半分である $-4$ の二乗、すなわち $16$ を加えます。しかし、$-\frac{1}{2}$でくくられているので、$16$を加えた分だけ引く必要があります。つまり、$16 \times (-\frac{1}{2}) = -8$を引く代わりに$+8$を加えます。

$$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16 - 16) - 1$$

$$y = -\frac{1}{2}((x - 4)^2 - 16) - 1$$

$$y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8 - 1$$

$$y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 7$$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 7$