$x + y = 4$ および $xy = -10$ のとき、次の式の値を求めます。 (1) $x^2 + y^2$ (2) $x^3y + xy^3$

1. 問題の内容

$x + y = 4$ および $xy = -10$ のとき、次の式の値を求めます。

(1) $x^2 + y^2$

(2) $x^3y + xy^3$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2$ を求めます。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ であることを利用します。

この式を変形すると、$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ となります。

与えられた条件 $x+y = 4$ と $xy = -10$ を代入すると、

$x^2 + y^2 = (4)^2 - 2(-10) = 16 + 20 = 36$ となります。

(2) $x^3y + xy^3$ を求めます。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2)$ と変形できます。

(1)で、$x^2 + y^2 = 36$ を求めました。また、$xy = -10$ であるので、

$x^3y + xy^3 = (-10)(36) = -360$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 36$

(2) $x^3y + xy^3 = -360$