$x$ と $y$ が互いに素であるとき、$x + 2y$ と $3x + 5y$ も互いに素であることを示す問題です。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ が互いに素であるとき、$x + 2y$ と $3x + 5y$ も互いに素であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

$x+2y$ と $3x+5y$ が互いに素でないと仮定します。つまり、$x+2y$ と $3x+5y$ の公約数 $d > 1$ が存在するとします。

すると、$x+2y$ と $3x+5y$ は $d$ で割り切れます。

$x+2y \equiv 0 \pmod{d}$

$3x+5y \equiv 0 \pmod{d}$

上の式を3倍すると $3x+6y \equiv 0 \pmod{d}$ となります。

$3x+6y \equiv 0 \pmod{d}$

$3x+5y \equiv 0 \pmod{d}$

上の2つの式から $3x$ の項を消去するために差をとります。

$(3x+6y) - (3x+5y) \equiv 0 - 0 \pmod{d}$

$y \equiv 0 \pmod{d}$

したがって、$y$ は $d$ で割り切れます。

$y \equiv 0 \pmod{d}$ なので、$x+2y \equiv x+2(0) \equiv x \equiv 0 \pmod{d}$ となります。

つまり、$x$ も $d$ で割り切れます。

$x \equiv 0 \pmod{d}$

$y \equiv 0 \pmod{d}$

したがって、$x$ と $y$ は公約数 $d > 1$ を持つことになります。これは、$x$ と $y$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

よって、$x+2y$ と $3x+5y$ は互いに素である必要があります。

3. 最終的な答え

$x$ と $y$ が互いに素であるとき、$x+2y$ と $3x+5y$ も互いに素である。