$x, y$ は整数、$p, q$ は互いに素な整数とする。$px = qy$ が成り立つとき、$qx + py$ が $p^2 + q^2$ の倍数となることを示せ。

1. 問題の内容

$x, y$ は整数、$p, q$ は互いに素な整数とする。$px = qy$ が成り立つとき、$qx + py$ が $p^2 + q^2$ の倍数となることを示せ。

2. 解き方の手順

$px = qy$ より、$px - qy = 0$ が成り立つ。

$p$ と $q$ は互いに素であるから、$x = qk$、$y = pk$ となる整数 $k$ が存在する。

このとき、

$qx + py = q(qk) + p(pk) = q^2k + p^2k = (p^2 + q^2)k$

したがって、$qx + py$ は $p^2 + q^2$ の倍数である。

3. 最終的な答え

$qx + py$ は $p^2 + q^2$ の倍数である。