与えられた2次方程式 $x^2+ax+a-3=0$ が $x=1$ を解に持つとき、$a$ の値を求め、連立不等式 $\begin{cases} 3x+4>x+b \\ -x+b>x-3 \end{cases}$ の解を $b$ を用いて表す。さらに、2次方程式の2つの解がともに連立不等式を満たすとき、$b$ の取りうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2+ax+a-3=0$ が $x=1$ を解に持つとき、$a$ の値を求め、連立不等式 $\begin{cases} 3x+4>x+b \\ -x+b>x-3 \end{cases}$ の解を $b$ を用いて表す。さらに、2次方程式の2つの解がともに連立不等式を満たすとき、$b$ の取りうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x=1$ を $x^2+ax+a-3=0$ に代入する。

$1^2+a(1)+a-3=0$

$1+a+a-3=0$

$2a-2=0$

$2a=2$

$a=1$

したがって、2次方程式は $x^2+x-2=0$ となる。

この式を因数分解すると、

$(x+2)(x-1)=0$

解は $x=-2, 1$ である。

$a=1$ を連立不等式に代入する。

$\begin{cases} 3x+4>x+b \\ -x+b>x-3 \end{cases}$

整理すると、

$\begin{cases} 2x>b-4 \\ 2x<b+3 \end{cases}$

$\begin{cases} x>\frac{b-4}{2} \\ x<\frac{b+3}{2} \end{cases}$

よって、連立不等式の解は $\frac{b-4}{2}<x<\frac{b+3}{2}$

(2)

2次方程式 $x^2+x-2=0$ の解は $x=-2, 1$ である。

これらがともに $\begin{cases} 3x+4>x+b \\ -x+b>x-3 \end{cases}$ を満たすとき、

$\frac{b-4}{2}<-2$ かつ $\frac{b+3}{2}>-2$ より

$b-4<-4$ かつ $b+3>-4$

$b<0$ かつ $b>-7$

また、

$\frac{b-4}{2}<1$ かつ $\frac{b+3}{2}>1$ より

$b-4<2$ かつ $b+3>2$

$b<6$ かつ $b>-1$

したがって、$-1<b<0$ が求める範囲である。

3. 最終的な答え

(1) $a=1$, 連立不等式の解は $\frac{b-4}{2}<x<\frac{b+3}{2}$

(2) $-1<b<0$