$\tan \theta = 1$のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$であり、答えは有理化すること。

1. 問題の内容

$\tan \theta = 1$のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$であり、答えは有理化すること。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = 1$となるのは、$\theta = 45^\circ$のときです。

これは、直角二等辺三角形の角度が45°であることを考えると分かります。

$\sin 45^\circ$ と $\cos 45^\circ$ を求めることを考えます。

直角を挟む2辺の長さが1の直角二等辺三角形を考えると、斜辺の長さは$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$となります。

したがって、

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

となります。

問題文より有理化する必要があるので、分母と分子に$\sqrt{2}$をかけて

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$