$\tan \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ とする。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -\frac{3}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係 $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を用いて $\cos \theta$ を求める。

$1 + \tan^2 \theta = 1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{16+9}{16} = \frac{25}{16}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$

ここで、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ であるから、$\cos \theta < 0$ である。よって、$\cos \theta = -\frac{4}{5}$。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta$ を用いて $\sin \theta$ を求める。

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = \left(-\frac{3}{4}\right) \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{3}{5}$, $\cos \theta = -\frac{4}{5}$