極座標と直交座標の変換に関する問題です。具体的には、以下の3つの問いに答えます。 * 極座標 $(4, \frac{5}{6}\pi)$ で表される点Pの直交座標を求める。 * 直交座標 $(2, 2\sqrt{3})$ で表される点Qの極座標を求める。 * Oを極とし、極座標 $(5, \frac{\pi}{6})$ で表される点Rと点Qを結んでできる三角形OQRの面積を求める。

1. 問題の内容

極座標と直交座標の変換に関する問題です。具体的には、以下の3つの問いに答えます。

* 極座標 $(4, \frac{5}{6}\pi)$ で表される点Pの直交座標を求める。

* 直交座標 $(2, 2\sqrt{3})$ で表される点Qの極座標を求める。

* Oを極とし、極座標 $(5, \frac{\pi}{6})$ で表される点Rと点Qを結んでできる三角形OQRの面積を求める。

2. 解き方の手順

* 点Pの直交座標を求める。

極座標 $(r, \theta)$ と直交座標 $(x, y)$ の関係は、

$x = r \cos\theta$

$y = r \sin\theta$

です。

点Pの極座標は $(4, \frac{5}{6}\pi)$ なので、

$x = 4 \cos(\frac{5}{6}\pi) = 4 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3}$

$y = 4 \sin(\frac{5}{6}\pi) = 4 \times (\frac{1}{2}) = 2$

したがって、点Pの直交座標は $(-2\sqrt{3}, 2)$ です。

* 点Qの極座標を求める。

直交座標 $(x, y)$ と極座標 $(r, \theta)$ の関係は、

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\tan\theta = \frac{y}{x}$

です。

点Qの直交座標は $(2, 2\sqrt{3})$ なので、

$r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

$\tan\theta = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan\theta = \sqrt{3}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ です。

点Qは第1象限にあるので、$\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

したがって、点Qの極座標は $(4, \frac{\pi}{3})$ です。

* 三角形OQRの面積を求める。

点Qの極座標は $(4, \frac{\pi}{3})$、点Rの極座標は $(5, \frac{\pi}{6})$ です。三角形OQRの面積は、

$\frac{1}{2} \times OQ \times OR \times \sin(\angle QOR)$ で求められます。

$OQ = 4$, $OR = 5$ であり、$\angle QOR = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi - \pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、三角形OQRの面積は

$\frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2} = 5$ です。

3. 最終的な答え

* 点Pの直交座標: $(-2\sqrt{3}, 2)$

* 点Qの極座標: $(4, \frac{\pi}{3})$

* 三角形OQRの面積: $5$

ア：-2, イ：3, ウ：2, エ：2

オ：4, カ：3

キ：5