円周上に点A, B, C, Dがあり、BCは円の中心Oを通る。$\angle OBC = 18^{\circ}$であるとき、$\angle x = \angle BDC$の大きさを求める。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, Dがあり、BCは円の中心Oを通る。$\angle OBC = 18^{\circ}$であるとき、$\angle x = \angle BDC$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、BCは円の直径であるので、$\angle BAC$は直径に対する円周角となり、$90^{\circ}$である。

$\angle BOC$は$\angle OBC$と円の中心にあることから、$2 \times \angle BAC = 180^\circ$である。

$\triangle OBC$は$OB = OC$の二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = 18^{\circ}$である。

したがって、$\angle BOC = 180^{\circ} - 18^{\circ} - 18^{\circ} = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}$である。

$\angle BAC = 18^{\circ}$であるとき、弧BCに対する円周角は$\angle BAC = \angle BDC$なので、

$\angle BDC = \angle x$である。

また、$\angle BOC$に対する円周角は$\angle BAC$なので、$\angle BOC = 2\angle BAC$である。

ここで$\angle BAC$を求める。

$\triangle ABC$において、$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$であり、$\angle BAC=90^{\circ}$、$\angle ABC = 18^{\circ}$であるから、$\angle ACB = 18^{\circ}$である。

三角形の内角の和は180度なので、$\angle BAC=90°$である。

$\angle ABC=180°-90°-x$となる。

$\angle OBC = 18^{\circ}$より$\angle ACB = 90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ}$である。

$\angle BDC$は$\angle BAC$と等しいので、円周角の定理から、

$\angle x = \angle BDC = \angle BAC$となる。

$\angle ACB = \angle OCB$より、$90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ}$となる。

$\triangle ABD$において、$\angle ABC = 18^{\circ}$より$\angle x$は、$90^{\circ} - 18^{\circ} = 72^{\circ}$となる。

$\angle BDC=18^{\circ}$である。

3. 最終的な答え

18°