空間内の3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられている。 (1) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積を求める。 (2) ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求める。

1. 問題の内容

空間内の3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられている。

(1) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積を求める。

(2) ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の面積は、2つのベクトルの外積の絶対値で与えられる。

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算する。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(1) - (1)(1) \\ (1)(-1) - (1)(1) \\ (1)(1) - (-2)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

次に、外積の絶対値を計算する。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

(2) 平行六面体の体積は、3つのベクトルのスカラー三重積の絶対値で与えられる。

スカラー三重積は、$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ で計算できる。

すでに $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を計算済みである。

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = (-3)(3) + (-2)(2) + (-1)(1) = -9 - 4 - 1 = -14$

体積はスカラー三重積の絶対値であるから、

$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |-14| = 14$

3. 最終的な答え

(1) 平行四辺形の面積: $\sqrt{14}$

(2) 平行六面体の体積: $14$