空間内の平面 $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ と点 $A(4, 1, -3)$ が与えられている。 (1) 点Aを通り、平面$\pi$に垂直な直線$l$の方程式を求めよ。 (2) 直線$l$と平面$\pi$の交点Bの座標を求めよ。

1. 問題の内容

空間内の平面 $\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ と点 $A(4, 1, -3)$ が与えられている。

(1) 点Aを通り、平面$\pi$に垂直な直線$l$の方程式を求めよ。

(2) 直線$l$と平面$\pi$の交点Bの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平面$\pi: x + y - 2z + 1 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (1, 1, -2)$ である。

点A $(4, 1, -3)$ を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (1, 1, -2)$ に平行な直線$l$の方程式は、パラメータ表示で次のように表せる。

$$

\vec{p} = \vec{a} + t\vec{n}

$$

ここで、$\vec{p} = (x, y, z)$ は直線上の任意の点、$\vec{a} = (4, 1, -3)$ は点Aの位置ベクトル、$\vec{n} = (1, 1, -2)$ は法線ベクトル、 $t$ はパラメータである。

したがって、直線$l$の方程式は

$$

(x, y, z) = (4, 1, -3) + t(1, 1, -2)

$$

と表せる。これを成分ごとに書くと、

$$

\begin{cases}

x = 4 + t \\

y = 1 + t \\

z = -3 - 2t

\end{cases}

$$

と表せる。

(2) 直線$l$と平面$\pi$の交点Bの座標を求める。

交点Bは直線$l$上にあるので、その座標は $(4+t, 1+t, -3-2t)$ と表せる。また、交点Bは平面$\pi$上にもあるので、その座標は平面の方程式 $x + y - 2z + 1 = 0$ を満たす。

したがって、

$$

(4+t) + (1+t) - 2(-3-2t) + 1 = 0

$$

$$

4 + t + 1 + t + 6 + 4t + 1 = 0

$$

$$

6t + 12 = 0

$$

$$

6t = -12

$$

$$

t = -2

$$

$t = -2$ を直線 $l$ の方程式に代入すると、交点Bの座標は

$$

\begin{cases}

x = 4 + (-2) = 2 \\

y = 1 + (-2) = -1 \\

z = -3 - 2(-2) = -3 + 4 = 1

\end{cases}

$$

したがって、交点Bの座標は $(2, -1, 1)$ である。

3. 最終的な答え

(1) 直線$l$の方程式は、

$$

\begin{cases}

x = 4 + t \\

y = 1 + t \\

z = -3 - 2t

\end{cases}

$$

(2) 交点Bの座標は $(2, -1, 1)$