放物線 $y = x^2 + ax + 2$ が2点 $A(0, 1)$、 $B(2, 3)$ を結ぶ線分と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + 2$ が2点 $A(0, 1)$、 $B(2, 3)$ を結ぶ線分と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、線分ABを表す直線を求めます。

直線ABの傾きは $\frac{3-1}{2-0} = \frac{2}{2} = 1$ です。

切片はAのy座標から1とわかります。

したがって、直線ABの方程式は $y = x + 1$ です。

次に、放物線と直線の交点を求めます。

$x^2 + ax + 2 = x + 1$

$x^2 + (a-1)x + 1 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を考えます。判別式をDとすると、

$D = (a-1)^2 - 4(1)(1) = a^2 - 2a + 1 - 4 = a^2 - 2a - 3 = (a-3)(a+1)$

$D > 0$ より、 $(a-3)(a+1) > 0$

よって、$a < -1$ または $a > 3$。

次に、交点が線分AB上にある条件を考えます。線分AB上の点は、$0 \le x \le 2$ を満たします。

$f(x) = x^2 + (a-1)x + 1$ とおくと、$f(0) > 0$ かつ $f(2) > 0$ ならば、解は $0 < x < 2$ に少なくとも一つ存在します。$f(0)=1 >0$はすでに満たされています。

$f(0) = 1 > 0$

$f(2) = 2^2 + (a-1)2 + 1 = 4 + 2a - 2 + 1 = 2a + 3$

$f(2) > 0$ より、 $2a + 3 > 0$ つまり $a > -\frac{3}{2}$。

さらに、x=0,2 の時に交点を持たない条件を考えます。

$f(0) \ne 0$, $f(2) \ne 0$はすでに満たされています。

$f(0) = 1 \neq 0$, $f(2)=2a+3\neq 0$

$a\neq -\frac{3}{2}$.

以上の条件をまとめます。

$a < -1$ または $a > 3$ かつ $a > -\frac{3}{2}$

したがって、$-\frac{3}{2} < a < -1$ または $a > 3$。

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2} < a < -1$ または $a > 3$