問題は2つあります。 (1) 2次方程式 $x^2 + (k+1)x + 2k - 1 = 0$ の解が整数となるような定数 $k$ の値を求める問題です。ただし、$k$ の値は2つあり、小さい方から順に解答欄に記入し、大小関係は指定されています。 (2) $x^2 + xy + y^2 = 28$ を満たす正の整数 $x, y$ の組 $(x, y)$ を求める問題です。 ただし、$(x,y)$ の組は2つあり、小さい方の $x$ の値から順に解答欄に記入し、$x$の大小関係は指定されています。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 2次方程式 $x^2 + (k+1)x + 2k - 1 = 0$ の解が整数となるような定数 $k$ の値を求める問題です。ただし、$k$ の値は2つあり、小さい方から順に解答欄に記入し、大小関係は指定されています。

(2) $x^2 + xy + y^2 = 28$ を満たす正の整数 $x, y$ の組 $(x, y)$ を求める問題です。 ただし、$(x,y)$ の組は2つあり、小さい方の $x$ の値から順に解答欄に記入し、$x$の大小関係は指定されています。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係から

$\alpha + \beta = -(k+1)$

$\alpha\beta = 2k - 1$

これらから $k$ を消去すると、

$2(\alpha + \beta) = -2(k+1)$

$2\alpha + 2\beta = -2k - 2$

$2k = -2\alpha - 2\beta - 2$

$\alpha\beta = 2k - 1 = -2\alpha - 2\beta - 2 - 1$

$\alpha\beta + 2\alpha + 2\beta + 3 = 0$

$\alpha\beta + 2\alpha + 2\beta + 4 = 1$

$(\alpha + 2)(\beta + 2) = 1$

$\alpha, \beta$ は整数なので、$\alpha+2, \beta+2$ も整数です。したがって、

$\alpha + 2 = 1, \beta + 2 = 1$ または $\alpha + 2 = -1, \beta + 2 = -1$

前者の場合、$\alpha = -1, \beta = -1$ より、

$(-1)+(-1) = -(k+1)$

$-2 = -k - 1$

$k = 1$

後者の場合、$\alpha = -3, \beta = -3$ より、

$(-3)+(-3) = -(k+1)$

$-6 = -k - 1$

$k = 5$

よって、$k = 1, 5$ です。

(2)

$x^2 + xy + y^2 = 28$

$x, y$ は正の整数なので、$x > 0, y > 0$ です。

$x^2 + xy + y^2 = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 = 28$

$y=1$ のとき $x^2+x+1=28$ より $x^2+x-27 = 0$。これは整数解を持たない。

$y=2$ のとき $x^2+2x+4=28$ より $x^2+2x-24 = 0$。$(x+6)(x-4) = 0$ より $x=4$

$y=3$ のとき $x^2+3x+9=28$ より $x^2+3x-19 = 0$。これは整数解を持たない。

$y=4$ のとき $x^2+4x+16=28$ より $x^2+4x-12 = 0$。$(x+6)(x-2) = 0$ より $x=2$

$y=5$ のとき $x^2+5x+25=28$ より $x^2+5x-3 = 0$。これは整数解を持たない。

$y=6$ のとき $x^2+6x+36=28$ より $x^2+6x+8 = 0$。$(x+4)(x+2) = 0$ より解は負の数となり不適。

$x$ と $y$ を入れ替えても式は変わらないので、$(x, y) = (4, 2), (2, 4)$。

したがって $(x, y) = (2, 4), (4, 2)$

3. 最終的な答え

(1) $k = 1, 5$

(2) $(x, y) = (2, 4), (4, 2)$