## 問題 53

## 問題 53

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1. 問題の内容

(1) $y$ が $x$ の 2 乗に比例し、$x = -3$ のとき $y = 3$ である。$y$ を $x$ の式で表せ。

(2) 関数 $y = 2x^2$ で、$x$ の値が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合を求めよ。

(3) 関数 $y = -\frac{1}{4}x^2$ で、$x$ の変域が $-2 \le x \le 5$ のときの $y$ の変域を求めよ。

(4) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の値が -4 から -2 まで増加するときの変化の割合は 3 である。$a$ の値を求めよ。

(5) 関数 $y = ax^2$ で、$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 6$ である。$a$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

(1)

$y$ が $x$ の 2 乗に比例するので、$y = kx^2$ とおくことができる。

$x = -3$ のとき $y = 3$ なので、これを代入すると、

$3 = k(-3)^2$

$3 = 9k$

$k = \frac{1}{3}$

したがって、$y = \frac{1}{3}x^2$

(2)

$x$ が 1 から 3 まで増加するとき、$y$ の値はそれぞれ、$2(1)^2 = 2$、$2(3)^2 = 18$ となる。

変化の割合は、

$\frac{18 - 2}{3 - 1} = \frac{16}{2} = 8$

(3)

$y = -\frac{1}{4}x^2$ は上に凸のグラフになる。

$x$ の変域 $-2 \le x \le 5$ において、$x = 0$ のとき $y = 0$ で最大値をとる。

$x = 5$ のとき $y = -\frac{1}{4}(5)^2 = -\frac{25}{4} = -6.25$ で最小値をとる。

したがって、$y$ の変域は $-\frac{25}{4} \le y \le 0$

(4)

$x$ が -4 から -2 まで増加するときの変化の割合は、

$\frac{a(-2)^2 - a(-4)^2}{-2 - (-4)} = \frac{4a - 16a}{2} = \frac{-12a}{2} = -6a$

これが 3 に等しいので、

$-6a = 3$

$a = -\frac{1}{2}$

(5)

$x$ の変域が $-1 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 6$ である。

$y=ax^2$ のグラフは原点を通るので、$y$ の最小値は 0 である。

$a>0$の場合、$x=3$のとき$y=9a$が最大値となるので、$9a=6$より、$a=2/3$

$a<0$の場合、$x=-1$のとき$y=a$、$x=3$のとき$y=9a$。したがって、$-1 \le x \le 3$ では、 $x=-1$または$x=3$のとき、$y$は最大値$a$または$9a$を取る。ところが、$a<0$より、$y$の最大値は負になるので、$0 \le y \le 6$とはならない。

したがって、$a=\frac{2}{3}$

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3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{3}x^2$

(2) 8

(3) $-\frac{25}{4} \le y \le 0$

(4) $a = -\frac{1}{2}$

(5) $a = \frac{2}{3}$