2次関数 $y = -x^2 + ax + 2a - 3$ のグラフが、$0 \le x \le 2$ の範囲でx軸と少なくとも1つの共有点を持つような、$a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + ax + 2a - 3$ のグラフが、$0 \le x \le 2$ の範囲でx軸と少なくとも1つの共有点を持つような、$a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = -x^2 + ax + 2a - 3$ のグラフがx軸と少なくとも1つの共有点を持つ条件を考えます。

$f(x) = -x^2 + ax + 2a - 3$ とおきます。

(1) $f(0)$ と $f(2)$ が異符号の場合:

この場合は、$0$ と $2$ の間に少なくとも1つの解が存在します。

$f(0) = 2a - 3$

$f(2) = -4 + 2a + 2a - 3 = 4a - 7$

$(2a - 3)(4a - 7) \le 0$ を解きます。

$\frac{3}{2} \le a \le \frac{7}{4}$

(2) $f(0)$ と $f(2)$ が同符号の場合：

判別式 $D$ について考えます。$D = a^2 - 4(-1)(2a - 3) = a^2 + 8a - 12$.

$D \ge 0$ より、$a^2 + 8a - 12 \ge 0$ を解きます。

$a = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 48}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{7}$

$a \le -4 - 2\sqrt{7}$ または $a \ge -4 + 2\sqrt{7}$

$-4 - 2\sqrt{7} \approx -4 - 2(2.646) = -4 - 5.292 = -9.292$

$-4 + 2\sqrt{7} \approx -4 + 2(2.646) = -4 + 5.292 = 1.292$

軸の位置について考えます。軸の方程式は $x = \frac{-a}{2(-1)} = \frac{a}{2}$ です。

軸が区間 $[0, 2]$ にある場合、$0 \le \frac{a}{2} \le 2$ より $0 \le a \le 4$ です。

$f(0) \ge 0$ かつ $f(2) \ge 0$ の場合：

$2a - 3 \ge 0$ かつ $4a - 7 \ge 0$ より

$a \ge \frac{3}{2}$ かつ $a \ge \frac{7}{4}$. よって $a \ge \frac{7}{4}$

$f(\frac{a}{2}) \ge 0$ より

$-\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2} + 2a - 3 \ge 0$

$\frac{a^2}{4} + 2a - 3 \ge 0$

$a^2 + 8a - 12 \ge 0$

$a \le -4 - 2\sqrt{7}$ または $a \ge -4 + 2\sqrt{7}$

$f(0) \le 0$ かつ $f(2) \le 0$ の場合：

$2a - 3 \le 0$ かつ $4a - 7 \le 0$ より

$a \le \frac{3}{2}$ かつ $a \le \frac{7}{4}$. よって $a \le \frac{3}{2}$

$f(\frac{a}{2}) \ge 0$ より

$-\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2} + 2a - 3 \ge 0$

$\frac{a^2}{4} + 2a - 3 \ge 0$

$a^2 + 8a - 12 \ge 0$

$a \le -4 - 2\sqrt{7}$ または $a \ge -4 + 2\sqrt{7}$

以上より、

$-4 + 2\sqrt{7} \le a \le 4$ の時、$f(0) < 0$ かつ $f(2) < 0$ とはならない

$a \le \frac{3}{2}$ の時、$f(0) < 0$ かつ $f(2) < 0$ となるには、

$a \le -4 - 2\sqrt{7}$ は 考慮しなくて良い。

場合分けを考慮すると、

$-4 + 2\sqrt{7} \le a$ または $a \le -4 -2\sqrt{7}$

$\frac{3}{2} \le a \le \frac{7}{4}$ または $\frac{7}{4} \le a \le 3$

これより、$a \ge -4 + 2\sqrt{7}$

$f(0)=0, f(2)=0$となる場合があるので、 $(2a - 3)(4a-7)=0$を満たす場合も考慮すると

$a = \frac{3}{2}, a = \frac{7}{4}$

$\frac{3}{2} \le a \le \frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} \le a \le \frac{7}{4}$