円の中心Oが与えられた図において、指定された角$x$の大きさを求める問題です。問題は2つあります。 (1) 図において、中心角が300°の扇形に対する円周角$x$を求めます。 (2) 図において、AB//CDで、角ODCが43°、BCが直径であるとき、角$x$の大きさを求めます。

1. 問題の内容

円の中心Oが与えられた図において、指定された角$x$の大きさを求める問題です。問題は2つあります。

(1) 図において、中心角が300°の扇形に対する円周角$x$を求めます。

(2) 図において、AB//CDで、角ODCが43°、BCが直径であるとき、角$x$の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* 円の中心角は360°なので、中心角300°に対する弧BCの、残りの円周に対する中心角は、$360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$です。

* 円周角の定理より、円周角は中心角の半分なので、$x = 60^\circ / 2 = 30^\circ$です。

(2)

* BCは直径なので、∠BDC = 90°です。（半円に対する円周角）

* △ODCにおいて、OD = OC（円の半径）なので、∠ODC = ∠OCD = 43°です。

* したがって、∠DOC = 180° - (43° + 43°) = 180° - 86° = 94°です。

* AB//CDより、∠ABC = ∠BCD（平行線の同位角）です。

* ∠BCD = ∠OCD + ∠BCO = 43° + ∠BCOです。

* △BCOにおいて、BO = CO（円の半径）なので、∠OBC = ∠BCOです。

* ∠BOC = 180° - ∠DOC = 180° - 94° = 86°です。

* したがって、∠OBC = ∠BCO = (180° - 86°) / 2 = 94° / 2 = 47°です。

* ∠BCD = 43° + 47° = 90°です。

* ∠ABC = 90°です。

* 四角形ABCDにおいて、$x$ = ∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC。∠BAC = 43°（AB//CDより、錯角は等しいから）

* よって、$x$ = ∠ACB = 180° - 90° - 43° = 47°。

3. 最終的な答え

(1) 30°

(2) 47°