2直線 $y = x + 1$ と $y = -(2+\sqrt{3})x - 1$ のなす鋭角 $\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2直線 $y = x + 1$ と $y = -(2+\sqrt{3})x - 1$ のなす鋭角 $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

2直線のなす角 $\theta$ は、各直線の傾きを $m_1$, $m_2$ とすると、以下の公式で求められます。

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\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|

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ここで、$m_1$ は直線 $y = x + 1$ の傾き、$m_2$ は直線 $y = -(2+\sqrt{3})x - 1$ の傾きです。

1. 傾きを求める:

$m_1 = 1$

$m_2 = -(2+\sqrt{3})$

2. $\tan \theta$ を計算する:

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\tan \theta = \left| \frac{1 - (-(2+\sqrt{3}))}{1 + 1 \cdot (-(2+\sqrt{3}))} \right| = \left| \frac{3+\sqrt{3}}{1 - (2+\sqrt{3})} \right| = \left| \frac{3+\sqrt{3}}{-1-\sqrt{3}} \right|

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\tan \theta = \left| \frac{3+\sqrt{3}}{-(1+\sqrt{3})} \right| = \left| \frac{(3+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{-(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} \right| = \left| \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{-(1-3)} \right| = \left| \frac{-2\sqrt{3}}{2} \right| = \left| -\sqrt{3} \right| = \sqrt{3}

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3. $\theta$ を求める:

$\tan \theta = \sqrt{3}$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{3}$（60度）です。

問題では鋭角を求めるように指示されているため、$\theta$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす必要があります。

$\tan \theta$ の値から、$\theta = \frac{\pi}{3}$ が鋭角であることがわかります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または60度)