与えられた定積分の計算をすること。 $\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx + \int_{2}^{3} (12x^2 + 7) dx - \int_{3}^{5} (12x^2 + 7) dx - \int_{5}^{3} (12x^2 + 7) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算をすること。

$\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx + \int_{2}^{3} (12x^2 + 7) dx - \int_{3}^{5} (12x^2 + 7) dx - \int_{5}^{3} (12x^2 + 7) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分区間を調整します。

$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

$\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$

与えられた式を変形します。

$\int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx + \int_{2}^{3} (12x^2 + 7) dx - \int_{3}^{5} (12x^2 + 7) dx - \int_{5}^{3} (12x^2 + 7) dx$

$= \int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx + \int_{2}^{3} (12x^2 + 7) dx - \int_{3}^{5} (12x^2 + 7) dx + \int_{3}^{5} (12x^2 + 7) dx$

$= \int_{-1}^{2} (12x^2 + 7) dx + \int_{2}^{3} (12x^2 + 7) dx$

$= \int_{-1}^{3} (12x^2 + 7) dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (12x^2 + 7) dx = 12 \int x^2 dx + 7 \int dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} + 7x + C = 4x^3 + 7x + C$

定積分を計算します。

$\int_{-1}^{3} (12x^2 + 7) dx = [4x^3 + 7x]_{-1}^{3}$

$= (4(3^3) + 7(3)) - (4(-1)^3 + 7(-1))$

$= (4(27) + 21) - (4(-1) - 7)$

$= (108 + 21) - (-4 - 7)$

$= 129 - (-11)$

$= 129 + 11$

$= 140$

3. 最終的な答え

140