次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) \, dx + \int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) \, dx + \int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの定積分を計算します。

$\int (12x^2 - 4x + 3) \, dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = 4x^3 - 2x^2 + 3x + C$

次に、それぞれの定積分の値を計算します。

$\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) \, dx = [4x^3 - 2x^2 + 3x]_{0}^{2} = (4(2)^3 - 2(2)^2 + 3(2)) - (0) = 4(8) - 2(4) + 6 = 32 - 8 + 6 = 30$

$\int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) \, dx = [4x^3 - 2x^2 + 3x]_{-1}^{0} = (0) - (4(-1)^3 - 2(-1)^2 + 3(-1)) = -(4(-1) - 2(1) - 3) = -(-4 - 2 - 3) = -(-9) = 9$

最後に、これらの値を足し合わせます。

$\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) \, dx + \int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) \, dx = 30 + 9 = 39$

または、積分区間を結合して計算することもできます。

$\int_{-1}^{2} (12x^2 - 4x + 3) \, dx = [4x^3 - 2x^2 + 3x]_{-1}^{2} = (4(2)^3 - 2(2)^2 + 3(2)) - (4(-1)^3 - 2(-1)^2 + 3(-1)) = (32 - 8 + 6) - (-4 - 2 - 3) = 30 - (-9) = 30 + 9 = 39$

3. 最終的な答え

39