与えられた関数 $y = \sqrt{x} \cos x$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt{x} \cos x$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。ここで、$u = \sqrt{x}$ と $v = \cos x$ とする。

まず、$u = \sqrt{x}$ の導関数 $u'$ を求める。$\sqrt{x} = x^{1/2}$ であるから、

$u' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

次に、$v = \cos x$ の導関数 $v'$ を求める。

$v' = -\sin x$

積の微分公式にこれらの結果を代入する。

$y' = (\sqrt{x} \cos x)' = (\sqrt{x})' \cos x + \sqrt{x} (\cos x)'$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos x + \sqrt{x} (-\sin x)$

$y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$

最終的に、導関数は $y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$