三角形ABCにおいて、$a=5$, $b=\sqrt{7}$, $c=2\sqrt{3}$ のとき、角Bの大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=5$, $b=\sqrt{7}$, $c=2\sqrt{3}$ のとき、角Bの大きさを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて角Bの大きさを求める。

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

与えられた値を代入すると、

$\cos B = \frac{5^2 + (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3}}$

$\cos B = \frac{25 + 12 - 7}{20\sqrt{3}}$

$\cos B = \frac{30}{20\sqrt{3}}$

$\cos B = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

$\cos B = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるような角Bは $30^\circ$ である。

よって、$B=30^\circ$

3. 最終的な答え

$B=30^\circ$