与えられた連立方程式を解き、$x$と$y$の値を求める。 (1) $\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 4x - y = 7 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} 4x - y = 14 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$ (3) $\begin{cases} x = y + 2 \\ 3x - y = 12 \end{cases}$ (4) $\begin{cases} 5x - y = 7 \\ y = 4x - 5 \end{cases}$ (5) $\begin{cases} 3x + 4y = 14 \\ 5x - 3y = 4 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解き、$x$と$y$の値を求める。

(1) $\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 4x - y = 7 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} 4x - y = 14 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$

(3) $\begin{cases} x = y + 2 \\ 3x - y = 12 \end{cases}$

(4) $\begin{cases} 5x - y = 7 \\ y = 4x - 5 \end{cases}$

(5) $\begin{cases} 3x + 4y = 14 \\ 5x - 3y = 4 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1)

1つ目の式から$x = 5 - 3y$が得られる。

これを2つ目の式に代入すると、$4(5-3y) - y = 7$となる。

これを整理すると、$20 - 12y - y = 7$となり、$13y = 13$となる。

したがって、$y = 1$。

$x = 5 - 3(1) = 2$。

(2)

1つ目の式から$y = 4x - 14$が得られる。

これを2つ目の式に代入すると、$2x - 3(4x - 14) = 2$となる。

これを整理すると、$2x - 12x + 42 = 2$となり、$10x = 40$となる。

したがって、$x = 4$。

$y = 4(4) - 14 = 2$。

(3)

1つ目の式を2つ目の式に代入すると、$3(y+2) - y = 12$となる。

これを整理すると、$3y + 6 - y = 12$となり、$2y = 6$となる。

したがって、$y = 3$。

$x = 3 + 2 = 5$。

(4)

2つ目の式を1つ目の式に代入すると、$5x - (4x - 5) = 7$となる。

これを整理すると、$5x - 4x + 5 = 7$となり、$x = 2$となる。

したがって、$y = 4(2) - 5 = 3$。

(5)

1つ目の式に3をかけ、2つ目の式に4をかけると、

$\begin{cases} 9x + 12y = 42 \\ 20x - 12y = 16 \end{cases}$

これらの式を足すと、$29x = 58$となる。

したがって、$x = 2$。

$3(2) + 4y = 14$より、$4y = 8$。

したがって、$y = 2$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$, $y = 1$

(2) $x = 4$, $y = 2$

(3) $x = 5$, $y = 3$

(4) $x = 2$, $y = 3$

(5) $x = 2$, $y = 2$