20個の飴を3兄弟で分けます。三男、次男、長男の順で多く飴をもらい、三男は可能な限り多くもらいます。この条件で、長男が少なくとも何個の飴をもらうかを求めます。

1. 問題の内容

20個の飴を3兄弟で分けます。三男、次男、長男の順で多く飴をもらい、三男は可能な限り多くもらいます。この条件で、長男が少なくとも何個の飴をもらうかを求めます。

2. 解き方の手順

まず、三男がもらう飴の数を最大化します。

長男、次男、三男がもらう飴の数をそれぞれ $x, y, z$ とします。

条件より、

$x > y > z$

$x + y + z = 20$

$z$ を最大にする

$z$ を最大にするには、$x$ と $y$ をできるだけ小さくする必要があります。$x > y > z$ より、$y = z + 1$, $x = y + 1 = z + 2$ とおけます。

$x + y + z = (z+2) + (z+1) + z = 3z + 3 = 20$

$3z = 17$

$z = \frac{17}{3} = 5.666...$

$z$ は整数なので、$z = 5$ と仮定します。

$y = z + 1 = 6$

$x = z + 2 = 7$

$x + y + z = 5 + 6 + 7 = 18$

$20 - 18 = 2$ 余りがあるので、これを分配します。

三男が可能な限り多くもらうという条件より、まず三男に与えてみます。$z = 6$, $y = 6$, $x = 7$ となり、$y > z$ が満たされません。

次に、次男に与えてみます。$z = 5$, $y = 7$, $x = 7$ となり、$x > y$ が満たされません。

よって、$z = 6$ にして、$x$ と $y$ の差を 1 より大きく保つ必要があります。

$z=5$, $y=6$, $x=9$ とすると、$x+y+z=20$, $x>y>z$を満たします。

このとき、長男は 9 個もらいます。

$z=6$ とすると、$y = z + 1 = 7$、$x > 7$ なので、$x = 8$ とします。$x+y+z = 6+7+8 = 21 > 20$ となり、合計が20個を超えてしまいます。

もし、$x = 7$ とすると、$x > y$ を満たしません。

$z$ をできるだけ大きくするために、$x = y + 1$, $y = z + 1$ に近い状態で調整します。

$z=6$ とすると、$x+y=14$ で、$x>y$ となります。$y=7$ とすると、$x=7$ で、$x>y$ を満たしません。

$z=6$ のとき、$y=6+1=7$, $x=20-6-7=7$ となるので条件を満たしません。

$z=6$ のとき、$y=7$, $x=8$ とすると、$z<y<x$ を満たしますが、$z+y+x = 21$ となり、20個を超えます。

次に、$z=5$ とすると、$y = 6$, $x = 20-5-6 = 9$ となり、$x+y+z=20$, $x>y>z$を満たします。

このとき長男は9個もらいます。

$x=8$ とすると、$y+z=12$ で、$z+1<y<8$ となります。$z=5$ ならば、$y=7$ となり、$8+7+5=20$ なので、これは条件を満たします。

$z=4$ とすると、$y=8$ は不可能なので、$y=7$ が最大で、$8+7+4=19<20$ となり、条件を満たしません。

最小の$x$の候補は、$x=7$です。このとき、$y+z=13$ で、$z=6$ とすれば、$y=7$ で、$z>y$ になりません。

$z=5$ とすれば、$y=8$ で、$x=7$ なので、$x>y$ になりません。

長男が少なくとも何個もらうかを考えるので、$z$ が大きくなるほど、$x$ は小さくなります。

$z=5$, $y=6$, $x=9$の場合、長男は9個です。

$z=4$ の場合、$x+y=16$, $y=5$, $x=11$, 合計は

2

0. $x>y>z$ なので、$x = y+1$ の場合を考えます。$x+y+z=20$ は、$x = z+2$, $y = z+1$ なので、$3z+3=20$.

$3z = 17$, $z=5$ で、$x = 7, y=6$ となります。余った 2 を分配すると、$x=7+1=8$, $y=6+1=7$, $z=5$. すると$x>y>z$ を満たします。

よって、長男は少なくとも8個もらいます。

3. 最終的な答え

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