次の式を因数分解しなさい。 (1) $x^4 - 5x^2 + 4$ (2) $x^4 - 81$ (3) $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

次の式を因数分解しなさい。

(1) $x^4 - 5x^2 + 4$

(2) $x^4 - 81$

(3) $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 5x^2 + 4$ の因数分解

$x^2 = A$ とおくと、

$A^2 - 5A + 4$

これは $(A - 1)(A - 4)$ と因数分解できます。

$A$ を $x^2$ に戻すと、

$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$

さらに因数分解できて、

$(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

(2) $x^4 - 81$ の因数分解

これは $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ の公式を利用します。

$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)$

さらに、$x^2 - 9$ を因数分解できて、

$(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$

(3) $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8$ の因数分解

$x^2 + 3x = A$ とおくと、

$A^2 - 2A - 8$

これは $(A - 4)(A + 2)$ と因数分解できます。

$A$ を $x^2 + 3x$ に戻すと、

$(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x + 2)$

それぞれさらに因数分解できて、

$(x + 4)(x - 1)(x + 1)(x + 2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

(2) $(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$

(3) $(x + 4)(x - 1)(x + 1)(x + 2)$